파이프 네트워크·항공기·자동차·선박 등 시스템 설계 최적화
설계·시공·유지관리 등 전 분야에 걸친 에너지절감구현 도구

유체역학에서 필수적으로 사용되는 ‘베르누이’ 방정식은 유체 속도의 증가는 정압의 감소 또는 유체의 위치에너지 감소와 동시에 발생한다는 비점성 유체에 대한 에너지보존을 나타내는 매우 중요하고 광범위하게 사용되는 정리다. 1738년 다니엘 베르누이가 정리한 것으로, 유체에 가해지는 일이 없는 경우에 유체의 속도와 압력, 위치에너지와의 에너지 관계를 나타낸 식이다. 이 방정식은 유체의 흐름을 이해하고 분석하기 위한 필수적인 개념으로, 기계설비의 배관시스템은 물론 항공기, 선박, 자동차 등 다양한 분야에서 에너지 절약적 시스템 최적화를 구현하기 위한 수단으로 사용되고 있다. /편집자 주

[그림 1]에서처럼 1차원 유동인 경우에 오일러의 운동 방정식을 유도해 보도록 하자.

오일러의 운동 방정식은 뉴턴의 운동법칙을 다른 방법으로 표현한 식으로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

[그림 1]에서 유동하고 있는 유체의 운동하고 있는 방향에 대한 미소 단면적을 dA로 하면, 양쪽 두 단면 사이의 압력 변화로 인한 힘은 압력과 그 압력이 작용하는 단면의 곱으로 다음(1)과 같이 정리되고,

유체의 유동에서 미소한 요소의 중력으로 인한 질량력의 운동방향 성분(mg)은 미소한 요소의 미소 질량을 dm=pds dA로 놓으면 다음 (2)처럼 정리된다.

또한, 이들의 유체 유동에 대한 운동의 식을 간단하게 하기 위하여 각각의 유체 입자가 미끄러질 때 발생하는 내부마찰, 즉 전단응력을 생략하면 점성계수, u=0로 위에서 언급한 압력에 의한 힘과 중력에 의한 질량력만 유체의 미소요소에 작용하므로

뉴턴의 제2법칙 dF=dm a를 적용하여 운동 방정식을 전개하면 다음과 같이 정리된다.

그런데, 가속도 a는 시간에 대한 속도의 변화율을 나타내므로 다음과 같이 표기할 수 있다.

그러므로 힘에 대한 운동방정식은 위에서 유도된 (1)과 (2)를 이용하여 다음과 같이 정리된다.

여기에서 양변을 pdA로 나누고 음의 부호를 제거하기 위하여 전체를 이항시키고 정리하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

이 식을 중력 가속도 g로 나누고 전 항을 미분의 형태로 만들기 위하여 다시 한번 변형하면 다음과 같이 정리된다.

위의 식(3)과 식(4)가 1차원 흐름에 대한 오일러의 운동 방정식이다.

응용 범위가 아주 넓게 사용되고 매우 중요한 베르누이(Bernoulli) 방정식을 유도해 보자.

이를 위해 몇 가지의 조건이 선행되어야만 한다.

첫째, 임의의 두 점이 같은 유선상에 있어야만 하고, 비압축성 유동이며 정상상태의 유동으로 규정되어야 한다.

또한 마찰이 없는 유동으로 가정되어야만 그들의 유동에 베르누이 방정식을 적용시킬 수 있다.

유체의 흐름에서 매우 중요하고 응용 범위가 광범위한 베르누이 방정식은 앞의 1차원 오일러 운동방정식을 적분시키는 방법으로 쉽게 유도할 수 있다.

위의 1차원 오일러 운동방정식(3)을 적분형으로 나타내보면, 다음과 같은 식으로 표현된다.

각 항을 g로 나누어 정리하면 다음의 베르누이 방정식을 얻는다.

여기에서 c는 적분상수로서 베르누이 상수라고도 부른다.

그리고 식(5)에서 왼쪽의 첫 번째 항은 단위 질량당의 유체가 갖는 압력에너지 또는 유동 일(pressure energy or flow work)이라 하고, 두 번째 항은 운동에너지(kinetic energy), 세 번째 항은 위치에너지(potential energy)라고 한다.

또는 [그림2]에서처럼 H를 전수두(전양정)라고 하여 제1항을 압력수두, 제2항을 속도수두, 제3항을 위치수두라고도 부른다.

이러한 베르누이 방정식에 대한 각 항의 물리적 의미를 알아 두는 것은 베르누이 방정식을 응용하는 데 있어서 매우 유용하게 사용된다.

또한, [그림 2]에서 E.L.(Energy Line)은 ‘어느 지점에서나 전 에너지는 일정하다’는 에너지선을 보여주고 있고, H.G.L.(Hydraulic Grade Line)은 유체 흐름의 각 지점에서 압력수두와 위치수두를 합한 지점들을 계속하여 이은 수력 구배선을 나타내고 있다. 그러므로 수력구배선은 에너지선보다 항상 속도수두,

만큼 아래에 위치하는 점들을 이은 선임을 인식해야 한다.

위에서 살펴보았듯이 베르누이 방정식은 마찰이 없는 정상, 비압축성 유동에서 하나의 유선을 따라 전체적인 기계적 에너지는 항상 일정하다는 것을 말해주고 있다.

[예제 1] 기준면으로부터 5.4m 위에 있는 어떤 파이프 내에 물이 흐르고 있는데, 물의 속도는 19.6m/s이고, 압력은 196kPa이라면 전수두(m)는 얼마인가?

•풀이•

전수두

베르누이 방정식은 유도과정에서도 몇몇의 가정이 설정되었듯이 유체의 유동 중에 생기는 압력손실을 고려하지 않고 단지 에너지 보존의 법칙만을 이용하여 유도되었다.

그러므로 실제적인 유동에서 발생하는 고체면과 접함으로서 생기는 마찰력의 발생 문제, 유체입자들의 상호간의 충돌에 의한 에너지 손실 문제, 점성의 영향으로 인한 전단력 발생의 문제 등으로 인하여 압력손실이 발생하게 된다.

하지만 이들의 손실요인을 정확하게 계산하기가 어렵기 때문에, 이들의 손실을 전체적으로 손실수두(HL)로 나타냄으로써 다음에 설명하는 것처럼 베르누이 방정식을 응용하여 실제의 유동에 적용한다.

마찰이 존재하는 유체인 경우는 ①지점에서 ②지점으로 유체가 유동하면서 마찰로 인하여 에너지의 손실을 가져오게 되므로 ①지점에서의 전 에너지와 ②지점에서의 전 에너지는 등식을 이루지 못하게 된다. 그러므로 ①지점과 ②지점에서의 전 에너지가 등식을 이루려면 ①지점에서 ②지점으로 유동하면서 잃어버린 에너지에 해당하는 손실수두()을 ②지점에 더 해 주어야만 등식을 이루게 되므로 다음과 같이 변형시켜서 베르누이 방정식을 실제 유체에 응용하게 된다.

그리고 여기에서 발생되는 손실수두(hL)는 단위중량당 유체가 잃는 에너지를 의미하므로 이것을 보충할 동력(L)으로 환산하면 다음의 식이 된다.

여기에서 L은 단위시간당 에너지율을 의미하므로 동력의 단위인 kW로 표현하면 다음의 식이 얻어진다.

여기에서 r는 유체의 비중량[N/m3]을, Q는 유량[m3/s], H는 손실수두[m]를 의미한다.

이상에서 살펴본 베르누이 방정식은 에너지 보존의 원리를 기반으로 유도되어 유체의 운동 에너지, 위치 에너지, 그리고 압력 에너지를 고려하여 유체 입자가 다양한 위치에서 경험하는 에너지의 변화를 설명한다.

이렇게 중요한 베르누이 방정식의 적용은 다음과 같이 정리할 수 있다.

유체 흐름의 예측: 베르누이 방정식은 특정한 조건에서 유체의 속도, 압력, 밀도 등을 예측하는 데 사용된다. 이를 통해 파이프, 노즐, 날개 등 다양한 유체 역학 시스템에서의 유체 거동을 이해할 수 있다.

유체 역학 시스템의 설계 및 최적화: 베르누이 방정식은 급배수 및 소화배관의 파이프 네트워크, 항공기, 자동차, 선박 등 다양한 기술 시스템의 설계와 최적화에 적용된다. 이를 통해 최적의 흐름 특성을 갖는 시스템을 설계하고 효율적으로 운영하여 에너지 소모를 최소화한다.

유체 역학 실험 및 모델링: 실험적 연구와 컴퓨터 모델링에서도 베르누이 방정식은 중요한 도구로 활용된다.

이를 통해 다양한 유체 흐름 조건에서의 예측과 실험 결과를 비교하여 최적의 유체 역학 시스템을 설계할 수 있다.

에너지 효율성 평가: 베르누이 방정식은 유체 흐름 시스템의 에너지 소비와 효율성을 평가하는 데 사용된다. 특히 에너지를 절약하거나 손실을 최소화하기 위한 설계 및 운영 결정에 중요한 정보를 제공한다.

따라서 베르누이 방정식은 유체 역학 분야에서 핵심적인 도구로서 폭넓게 활용되며, 다양한 공학 및 과학 분야 그리고 기계설비에서 유체의 흐름을 이해하고 분석하는 데 필수적인 개념이다.

이에 대한 정확한 이해와 적용을 통해 기계설비산업의 설계 및 시공 그리고 유지관리 분야에서의 에너지절약을 적절하게 구현할 수 있다.